2014年寒假开学考试数学试题
一、选择题（每题4分，共20分）
1．若x，y为实数，且
，则
的值为（ ）
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A． |
1 |
B． |
2011 |
C． |
﹣1 |
D． |
﹣2011 |
2．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB等于（ ）
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A． |
30° |
B． |
45°
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C． |
55° |
D． |
60° |
3．将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是（ ）
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A． |
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B． |
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C． |
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D． |
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4．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
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A． |
10cm |
B． |
4πcm |
C． |
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D． |
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5．已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短距离为（ ）
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A． |
8 |
B． |
4π |
C． |
8 |
D． |
8 |
二．填空题（每题4分，共20分）
6.已知（a+2）2+√b-3=0，点P（a,b）关于原点对称的点为Q，点Q关于x轴对称的点为M，则点M的坐标为 。
7.如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 。
8.如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 。
9. 如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A'B'C'的位置，已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A'B'的中点是M，连结AM，则AM= cm．
10.对于任意不相等的两个正数a，b，定义一种运算“⊗”如下
．那么14⊗2= _________ ．
第7题 第8题 第9题
三．解答题（共60分）
11．(7分)先化简再求代数式
的值，
其中x=tan60°﹣2．
12.（8分）如图，正方形ABCD的边长为2
，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，求tanE的值．
13. （8分）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．
（1）求证：△OEF是等边三角形；
（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
14. （8分）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．
15.（9分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为
，设AB=x，AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；
（3）若∠APD=90°，求y的最小值．
16．（8分）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个，已知这个商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．问：为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时进货多少个？
17. （12分）数学活动﹣﹣﹣求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．
（1）独立思考：请回答老师提出的问题．
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．
“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．
任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN的面积是 _________ ．
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针旋转）．
